Spearmans Rangkorrelationskoeffizient

Thomas Haase

Warum?

Ziel: Zusammenhänge zwischen Variablen herstellen

• für nominal Variablen: Kreuztabelle
• für ordinale Variablen: Spearmans \(\rho\)
• für metrische Variablen: ? (nächste Sitzung)

Große Frage: Wofür brauchen wir Spearmans Rho?

Wie können wir für nominale Variablen Zusammenhänge herstellen? ==> Letzte Sitzung hatten wir bereits die Kreuztabelle kennengelernt. Wollen wir die nochmal wiederholen?

Spearmans Rho

• \(\rho = 1 - \frac{6 \cdot \sum^{n}_{i=1}{d^2_i}}{n \cdot (n^2-1)}\)
• \(d_i = R(x_i) - R(y_i)~~~\textrm{(Differenz der Rangplätze)}\)
• \(-1 < \rho < 1\)

• die formel ist eine modifikation der formel, für metrische variablen, die wir nächste woche lernen ==> für uns erstmal wichtig: anwenden

• Strategie: wir weisen jedem wert einer variablen einen rang zu und berechnen die differenz.

  durch das benutzen der formel vergleichen wir wie stark niedrige ränge zusammen mit anderen niedrigen rängen vorkommen und umgekehrt

• rho liegt immer zwischen -1 und 1 und zeigt so negative und positive zusammenhänge an

Beispiel

ID	Anzahl Tutoriumsbesuche	Klausurnote
1	0	8
2	3	9
3	0	6
4	1	5
5	12	12
6	10	13

Wir gehen von folgender Tabelle aus:

ID	Anzahl Tutoriumsbesuche	Klausurnote
1	0	8
2	3	9
3	0	6
4	1	5
5	12	12
6	10	13

1. Ränge zuweisen (kleinster Wert = 1,
   zweitkleinster Wert = 2, …)
2. wenn ein Rang 2x vorkommt wird der Durchschnitt gebildet (z.B. 0 hat Rang 1 und 2, also 1,5)

ID	Ränge der Anzahl Tutoriumsbesuche	Ränge der Klausurnote
1	1,5	3
2	3	4
3	1,5	2
4	2	1
5	5	5
6	4	6

Nun werden den Werte Ränge zugewiesen, also vom kleinsten Wert bis zum größten Wert durchnummeriert. Sollte ein Wert doppelt vorkommen, wird beiden der Durchschnitt des Ranges zugeordnet. 0 hat Rang 1, weil 0 zweimal vorkommt bilden wir den Durchschnitt der Ränge. Einer Null wird also Rang 1 zugeordnet, der anderen Rang 2 und der Durchschnitt ist 1,5. Die 1,5 wird beiden zugeordnet.

1. Ränge zuweisen (kleinster Wert = 1,
   zweitkleinster Wert = 2, …)
2. wenn ein Rang 2x vorkommt wird der Durchschnitt gebildet (z.B. 0 hat Rang 1 und 2, also 1,5)
3. Differenz der Ränge (\(d_i\)) berechnen
   3 - 1,5 = 1,5
   4 - 3 = 1
   …

ID	Ränge der Anzahl Tutoriumsbesuche	Ränge der Klausurnote	\(d_i\)
1	1,5	3	1,5
2	3	4	1
3	1,5	2	0,5
4	2	1	1
5	5	5	0
6	4	6	2

\(\rho = 1 - \frac{6 \cdot \sum^{n}_{i=1}{d^2_i}}{n \cdot (n^2-1)}\)

\(\textrm{Summe ausformulieren} \rightarrow \textrm{Ränge einsetzen} \\ = 1 - \frac{6 \cdot (1,5^2 + 1^2 + 0,5^2 + 1^2 + 0^2 + 2^2)}{n \cdot (n^2-1)}\)

\(\textrm{Ränge zusammenrechnen und n einsetzen}\\ = 1 - \frac{6 \cdot (2,25 + 1 + 0,25 + 1 + 4)}{6 \cdot (6^2-1)}\)

\(= 1 - \frac{6 \cdot 8,5}{6 \cdot (36-1)}\)

\(= 1 - \frac{51}{6 \cdot 35}~~=~~1 - \frac{51}{210}~~=~~1 - 0,243 ~~=~~0,757\)

Übung

• Aufgabe
• Lösung - S.1
• Lösung - S.2
• Lösung - S.3

In einer kleinen Studie gaben 5 Personen ihre Vorlieben für zwei verschiedene Musikgenres ab. Dabei wurde eine Likertskala mit 1 = “mag ich gar nicht” bis 5 = “mag ich sehr” verwendet.

---

Frage: Gibt es einen Zusammenhang zwischen den Musikgenres?

Person	Genre A	Genre B
1	3	4
2	2	2
3	5	5
4	1	3
5	4	1
6	3	2

1. Ränge zuweisen

Person	Genre A	Genre B	Rang Genre A	Rang Genre B
1	3	4	3.5	4
2	2	2	2	2.5
3	5	5	5	5
4	1	3	1	3
5	4	1	4	1
6	3	2	3.5	2.5

1. Ränge zuweisen
2. Differenz der Ränge berechnen

Person	Rang Genre A	Rang Genre B	Rang Differenz
1	3.5	4	-0.5
2	2	2.5	-0.5
3	5	5	0
4	1	3	-3
5	4	1	3
6	3.5	2.5	1

\(\rho = 1 - \frac{6 \cdot \sum^{n}_{i=1}{d^2_i}}{n \cdot (n^2-1)}\)

\(= 1 - \frac{6 \cdot ((-0.5)^2 + (-0.5)^2 + 0^2 + (-3)^2 + 3^2 + 1^2)}{n \cdot (n^2-1)}\)

\(= 1 - \frac{6 \cdot (0.25 + 0.25 + 0 + 9 + 9 + 1)}{6 \cdot (6^2-1)}\)

\(= 1 - \frac{117}{6 \cdot (36-1)}\)

\(= 1 - \frac{117}{6 \cdot 35}\) \(= 1 - \frac{117}{210}\) \(= 1 - 0.557\) \(= 0.443\)

Mittlere positive Korrelation ==> “Wer Genre A mag, mag wahrscheinlich auch Genre B”